Matematicas 1: U1.2 Propiedades de los Numeros Reales

Axioma para los Numeros Racionales

$X=$ $[$ $X=\mid\frac{a}{b}$ $a,b$ $\varepsilon$ $\mathbb{Z}$ $b\not=0$ $]$

Esto nos dice que $a$ y $b$ tienen que ser numeros enteros y que $b$ tiene que ser diferente de cero,
de lo contrario si b fuera igual a cero seria una indeterminacion

$\frac{a}{0}=indeterminacion$

Axiomas de los Numeros Reales

Propiedades de la igualdad

-Caracter identico o reflexivo
"Todo numero es igual a si mismo"

$m=m$ $x=x$

-Caracter simetrico o reciproco
"Si un numero es igual a otro, este es igual al primero"
$p=q$ $q=p$

-Caracter Transitivo
" Si un numero es igual a otro y este es igual a un tercero, el tercero y el primero son iguales"
$m=n$ y $n=p$ , $\therefore$ $m=p$

Axiomas de Campo

Los Axiomas de campo ,son aquellos que nos ayudan a acomodar nuestras expresiones (asociativa para la suma y multiplicacion), Cancelar nuestra expresiones (inverso aditivo e inverso multiplicativo) o resolverlas como la ley de mosquetero [distributiva , asociativa para la multiplicacion].

Sean $a,b,c$ $\varepsilon$ $\mathbb{R}$ con dos operaciones binarias llamado adicion y multiplicacion com $a+b$ y $a*b$ tal que satisfacen las siguientes propidades:

-Cierre
"Si una operacion se define en un conjunto dado de elementos, la operacion dara siempre un elemento del mismo conjunto, es decir el conjunto esta cerrado con respecto a esa operacion."

$4+3=7(suma)$ $(4)(2)=8(producto)$

-Conmutativa
"El orden de los factores no altera el producto" asi mismo "El orden de los sumandos no altera la suma"

$a+b=b+a(suma)$ $m*n=n*n(producto)$

-Asociativa
"la suma o producto de tres o mas elementos, se obtiene el mismo resultado, no importando la manera en que se asocien o se agrupen los elementos "

$a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c$ $suma$
$a*b*c=a(b*c)=(a*b)c$ $producto$

-Distributiva
" Un producto puede ser igual a una suma y que reciprocamente , la suma es igual a un producto, puesto que la igualda sea simetrica"

$p(q+r)=pq+pr$

-Identico
" Existe un sumando denotado por "0" que al realizar la suma permanece igual" asi como "Existe un factor denotado por "1" que al realizar la multiplicacion este permanece igual"

$a+0=a$ $(suma)$
$a*1=a$ $(producto)$

-Inverso
" Para cada $a$ existe un unico elemento llamado "inverso aditivo" denotado por $-a$ tal que al realizar la suma obtenemos como resultado cero" asi como " Para cada $a$

existe un unico elemento llamado "inverso multiplicativo o reciproco "denotado por $a^{-1}=\frac{1}{a}$ tal que al realizar la multiplicacion obtenemos como resultado la unidad (1) "

$a+(-a)=a-a=0$ $inverso aditivo$

$a\bullet{a^{-a}}=a\bullet\frac{1}{a}=1$ $inverso multiplicativo$

-ley del mosquetero (distributiva, Asociativa para la multiplicacion)
"En una operacion donde interbienen a,b,c que son numeros reales ,puede resolverse de la siguiente manera":

$a(b\theta\c$ $c$ $)$ $\theta=multiplicacion=a-pelea-con-todos-(b*c)$ $\theta=suma=a-pelea-con-uno-(b+c)$

Axiomas de orden

$>=menor-que$ $<=mayor-que$
$=:igual-que$ $\neq=diferente-de$
$\le=mayor-o-igual-que$ $\ge=menor-o-igual-que$

Entre todos los numeros reales hay una coleccion de ellos que se denominan " numeros reales positivos " que satisfacen las tres siguientes acciones:

1- Si $x$ e $y$ son positivos tambien $x+y$ y $x*y$ tambien son positivos.

2.- Para cada numero real $x\neq0$ , $x$ es positivo o $-x$ es positivo perno no ambos.

3.-Cero (0) no es positivo ni negativo.

Definiciones

$x<y$ Significa que la diferencia de $y-x>0$ (positiva)
$y<x$ significa que $x<y$ . ejemplos:

$-3<-2$ $x=-2$ $y=-3$
$-2-(-3)=1$

$6<3$ $x=6$ $y=3$
$3-6=-3$

Si $a<b$ $\rightarrow$ $c>0$

$\bullet$ $a+c<b+c$
$\bullet$ $ac<bc$

$c=3$ $6+3=9$ $6*3=18$
$a=6$ $10+3=13$ $10*3=30$
$b=10$ $9<13$ $18<30$

Si $a\neq0$ $\rightarrow$ $a^2>0$ siempre dara un resultado positivo.

$3^2=9$ $-3^2=(-3)(-3)=9$
$5^2=25$ $-5^2=(-5)(-5)=25$

Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$

$a=3$
$b=2$ $(3)(1)<(2)(1)$
$c=1$ $3<2$

Si $a<b$ $\rightarrow$ $-a<-b$ en particular.

$a=7$ $7<5$
$b=5$ $-(7)>-(5)$
$-7>-5$

Si $ab>0$ entonces $a$ y $b$ o ambos son positivos o negativos .

$a=3$ $(3)(7)=21$ $21>0$
$b=7$ $(-3)(-7)=21$ $21>0$

Si $a>c$ y $b<d$ entonces $a+b<c+d$

$a=9$ $9+5<7+5$
$b=5$ $14<12$
$c=7$
$d=3$

Matematicas 1

U1.2 Propiedades de los Numeros Reales

Datos personales

Calendario