Matematicas 1: septiembre 2008

1.4 Desigualdades

Una desigualdad es una expresion que nos muestra el valor que puede llegar a tomar una variable cualquiera dentro de un intervalo determinado, respetando la condicion de la desigualdad.

Para poder resolver una desigualdad se requieren ciertos conocimientos basicos sobre los numeros y sus propiedades , como pueden ser axiomas para los numeros reales, axiomas de orden, axiomas de campo, definiciones ,intervalo y ciertas nociones de algebra como son la factorizacion, suma - resta -multiplicacion -division de fracciones, etc.

La resolucion de una desiguladad se hace de manera muy similar a la resolucion de una ecuacion, lo mas importante para esto es "hacer la expresion lo mas lineal o directa posible, y ordenar los componentes de la expresion, de forma que se resuelva de manera sencilla"
como se mostrara en los siguientes ejemplos:

-Para encontrar los intervalos que respeten la condicion dada en la desiguald , se utilizan
puntos de evalucion . Estos sustituyen la variable ¨x¨ por cualquier valor que se encuentra dentro del intervalo que estamos comprobando, despues se resuelve la ecuacion con el valor asignado para la variable de manera directa . Esto se hace para cada intervalo presente en la desigualdad.

U1.3 Intervalos

Intervalos

Las ecuaciones ( igualdades) son donde la variable toma un solo valor unico :

$3x-6=0$

$3x=6$

$x=\frac{6}{3}=2$

Como pudimos ver en el ejemplo la variable "x" solo puede tomar el valor de "2".

En las inecuaciones (desigualdades) por otro lado pasa algo distinto, ya que la variable "x" puede tomar varios valores solo con la unica condicion de que se cumpla la desigualdad :

$3x-6<0$

$3x<6$

$x<\frac{6}{3}$ $=$ $x<2$ $\therefore$ $x=$ $(-\infty,2)$

intervalo que satisface la desigualdad $(-\infty,2)$

Lo que observamos en el ejemplo es que la variable tiene un valor menor que 2, lo que significa que la variable " $x$ " puede tomar cualquier valor menor de 2 hasta menos infinito y la condicion de la inecuacion de que el resultado debe ser menor que cero ,se seguira cumpliendo.

En el ejemplo anterior vimos un ejemplo de intervalo abierto, pero que pasaria si:

$3x-6\le 0$

$3x\le6$

$x\le\frac{6}{3}$ $x\le2$ $\therefore$ $x=$ $(-\infty,2]$

inervalo que satisface la desigualdad $(-\infty,2]$

En este ejemplo de inervalo cerrado, vimos como la variable puede tomar cualquier valor desde menos infinito hasta 2 (y no mas despues de 2), aqui si se toma en cuenta que la variable " $x$ " si puede tomar el valor de 2 ya que el resultado puede ser menor o igual que 0, por eso el intervalo es cerrado en 2. Aunque el valor de la variable fuese 2 se seguiria cumpliendo la condicion.

A este espacio donde la variable " $x$ " puede tomar cualquier valor cumpliendo la condicion se le llama $intervalo$ existen dos tipos de intervalos :

El intervalo abierto.- en el cual la variable puede tomar cualquier valor a partir de ese punto hasta infinito o menos infinito dependiendo de la direccion hacia donde esta se dirija en una grafica. Por lo general se utiliza en las inecuaciones donde $a>b$ , $a<b$ y $a>0$ o $a<0$ .

El intervalo Cerrado.- En el cual la variable puede tomar cualquier valor incluyendo el punto donde se ecuentra el del intervalo (no menor o mayor mas halla del intervalo.) hasta infinito o menos infinito dependiendo de la direccion hacia donde esta se dirija en una grafica. Por lo general se utiliza en las inecuaciones donde $a\ge b$ , $a\le b$ y $a\ge 0$ o $a\le 0$ .

Teniendo estos dos intervalos tenemos la siguiente tabla donde nos muestra todas las posibles combinaciones o tipos de intervalos que tenemos:

U1.2 Propiedades de los Numeros Reales

Axioma para los Numeros Racionales

$X=$ $[$ $X=\mid\frac{a}{b}$ $a,b$ $\varepsilon$ $\mathbb{Z}$ $b\not=0$ $]$

Esto nos dice que $a$ y $b$ tienen que ser numeros enteros y que $b$ tiene que ser diferente de cero,
de lo contrario si b fuera igual a cero seria una indeterminacion

$\frac{a}{0}=indeterminacion$

Axiomas de los Numeros Reales

Propiedades de la igualdad

-Caracter identico o reflexivo
"Todo numero es igual a si mismo"

$m=m$ $x=x$

-Caracter simetrico o reciproco
"Si un numero es igual a otro, este es igual al primero"
$p=q$ $q=p$

-Caracter Transitivo
" Si un numero es igual a otro y este es igual a un tercero, el tercero y el primero son iguales"
$m=n$ y $n=p$ , $\therefore$ $m=p$

Axiomas de Campo

Los Axiomas de campo ,son aquellos que nos ayudan a acomodar nuestras expresiones (asociativa para la suma y multiplicacion), Cancelar nuestra expresiones (inverso aditivo e inverso multiplicativo) o resolverlas como la ley de mosquetero [distributiva , asociativa para la multiplicacion].

Sean $a,b,c$ $\varepsilon$ $\mathbb{R}$ con dos operaciones binarias llamado adicion y multiplicacion com $a+b$ y $a*b$ tal que satisfacen las siguientes propidades:

-Cierre
"Si una operacion se define en un conjunto dado de elementos, la operacion dara siempre un elemento del mismo conjunto, es decir el conjunto esta cerrado con respecto a esa operacion."

$4+3=7(suma)$ $(4)(2)=8(producto)$

-Conmutativa
"El orden de los factores no altera el producto" asi mismo "El orden de los sumandos no altera la suma"

$a+b=b+a(suma)$ $m*n=n*n(producto)$

-Asociativa
"la suma o producto de tres o mas elementos, se obtiene el mismo resultado, no importando la manera en que se asocien o se agrupen los elementos "

$a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c$ $suma$
$a*b*c=a(b*c)=(a*b)c$ $producto$

-Distributiva
" Un producto puede ser igual a una suma y que reciprocamente , la suma es igual a un producto, puesto que la igualda sea simetrica"

$p(q+r)=pq+pr$

-Identico
" Existe un sumando denotado por "0" que al realizar la suma permanece igual" asi como "Existe un factor denotado por "1" que al realizar la multiplicacion este permanece igual"

$a+0=a$ $(suma)$
$a*1=a$ $(producto)$

-Inverso
" Para cada $a$ existe un unico elemento llamado "inverso aditivo" denotado por $-a$ tal que al realizar la suma obtenemos como resultado cero" asi como " Para cada $a$

existe un unico elemento llamado "inverso multiplicativo o reciproco "denotado por $a^{-1}=\frac{1}{a}$ tal que al realizar la multiplicacion obtenemos como resultado la unidad (1) "

$a+(-a)=a-a=0$ $inverso aditivo$

$a\bullet{a^{-a}}=a\bullet\frac{1}{a}=1$ $inverso multiplicativo$

-ley del mosquetero (distributiva, Asociativa para la multiplicacion)
"En una operacion donde interbienen a,b,c que son numeros reales ,puede resolverse de la siguiente manera":

$a(b\theta\c$ $c$ $)$ $\theta=multiplicacion=a-pelea-con-todos-(b*c)$ $\theta=suma=a-pelea-con-uno-(b+c)$

Axiomas de orden

$>=menor-que$ $<=mayor-que$
$=:igual-que$ $\neq=diferente-de$
$\le=mayor-o-igual-que$ $\ge=menor-o-igual-que$

Entre todos los numeros reales hay una coleccion de ellos que se denominan " numeros reales positivos " que satisfacen las tres siguientes acciones:

1- Si $x$ e $y$ son positivos tambien $x+y$ y $x*y$ tambien son positivos.

2.- Para cada numero real $x\neq0$ , $x$ es positivo o $-x$ es positivo perno no ambos.

3.-Cero (0) no es positivo ni negativo.

Definiciones

$x<y$ Significa que la diferencia de $y-x>0$ (positiva)
$y<x$ significa que $x<y$ . ejemplos:

$-3<-2$ $x=-2$ $y=-3$
$-2-(-3)=1$

$6<3$ $x=6$ $y=3$
$3-6=-3$

Si $a<b$ $\rightarrow$ $c>0$

$\bullet$ $a+c<b+c$
$\bullet$ $ac<bc$

$c=3$ $6+3=9$ $6*3=18$
$a=6$ $10+3=13$ $10*3=30$
$b=10$ $9<13$ $18<30$

Si $a\neq0$ $\rightarrow$ $a^2>0$ siempre dara un resultado positivo.

$3^2=9$ $-3^2=(-3)(-3)=9$
$5^2=25$ $-5^2=(-5)(-5)=25$

Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$

$a=3$
$b=2$ $(3)(1)<(2)(1)$
$c=1$ $3<2$

Si $a<b$ $\rightarrow$ $-a<-b$ en particular.

$a=7$ $7<5$
$b=5$ $-(7)>-(5)$
$-7>-5$

Si $ab>0$ entonces $a$ y $b$ o ambos son positivos o negativos .

$a=3$ $(3)(7)=21$ $21>0$
$b=7$ $(-3)(-7)=21$ $21>0$

Si $a>c$ y $b<d$ entonces $a+b<c+d$

$a=9$ $9+5<7+5$
$b=5$ $14<12$
$c=7$
$d=3$

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