tarea limites







































3.0 limites

2.3 mas funciones

2.2 funciones

fa

2.1 Funciones y sus Caracteristicas

En 1755 Leonard Euler definio a la funcion de la siguiente manera "Si algunas cantidades dependen de otras cantidades de tal manera que si las ultimas cambian las primeras tambien cambian, entonces las pirmeras cantidades se llaman funciones de las ultimas"

Esta definicion de Euler nos quiso decir que una funcion es la relacion que existe entre dos conjuntos cualesquiera, donde uno es totalmente dependiente del otro.

En una funcion donde tene
mos un dominio que son todos los valores que puede tomar la variable independiente determinado por "x" ,y un rango o recorrido que son los valores que toma la variable dependiente determinado por "y" formando de esta manera la grafica o imagen de la funcion.

Las funciones tienen notacion que nos indica de manera directa a la variable independiente "x" y la variable dependiente como una letra manuscrita (por lo general se utiliza f) y con la variable independiente entre parentesis quedando de la siguiente manera f(x) . Al querer evaluar la funcion , sustituiremos la variable independiente "x" por un valor que pertenesca al dominio "a" el cual lo indicaremos dentro de los parentesis f(a), y la variable independiente tendra ese valor en cada lugar donde aparesca "x" en la expresion original. ejemplo:


f(x)=3x+5

f(3)=3(3)+5
f(3)=9+5
f(3)=14



Como determinar si tratamos con una funcion

Para determinar si tratamos con una funcion utilizamos la prueba llamada "criterio de la recta vertical" la cual consiste en trazar una recta vertical en cualquier punto del domino de la funcion , y esta solo debe cortar un punto en la grafica de la funcion , de lo contrario si esta corta dos o mas puntos se dice que no es funcion.



Graficas de las funciones

Una forma de representar una funcion es graficando su recorrido.

Las funciones en ocasiones son tan especificas que podemos determinar ciertas caracteristicas como son sus intersecciones con los ejes , su forma ,su simetria, su dominio y rango, por ejemplo con tan solo prestar un poco en la ecuacion de la funcion.


Intersecciones con los ejes

Una interseccion es punto donde dos lineas , puntos , o rectas se cruzan o tambien se puede decir que tienen en comun el mismo punto.

En las graficas de las funciones se pueden presentar intersecciones con los dos ejes , con un eje , o con ningun eje.

Podemos encontrar las intersecciones con los ejes de manera sencilla , lo primero que debemos hacer es sustituir el valor para cada eje (x o y) por 0 dependiendo el caso, despejar y resolver de manera directa el resto de la expresion. tenemos dos tipos de intersecciones con los ejes que son :

*ordenada en el origen o interseccion con el ejeY [0,b], que es cuando X tiene un valor de 0 e Y tiene un valor en el recorrido de la funcion (llamado asi debido a que el origen del dominio es 0 )

* ordenada en la abcisa o interseccion con el eje X [a,0] que es cuando x tiene cualquier valor en el dominio e Y un valor igual a 0 (llamado asi debido a que el eje x tambien es llamado eje de las abcizas y esta situado en y=0 a lo largo de todo plano) ejemplos:



Simetria

La simetria es la cualidad que posee una grafica , la cual es cuando una mitad de la grafica es igual a la segunda mitad de la misma grafica a partir de un punto medio .

Existen tres tipos de simetrias o reflexiones las cuales son con respecto a los ejes

1.- Simetria con respecto al eje Y , que es cuando los valores del recorrido de la funcion son los mismos para -x , x, es decir la grafica es igual del lado izq. y del lado der. del eje Y









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2.-Simetria con respecto al eje X, que es cuando los valores del dominion de la funcion son los mismos para -y ,y es decir que la grafica es igual de arriba y abajo del eje X
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3.- Simetria con respecto al Origen, es cuando para cada valor de x,y es inverso (-x,-y) antes o despues del origen ,es decir que la grafica es igual de un lado y del otro solo que esta girada 180* en el origen.








Tipos de Funciones

Las funciones se clasifican en distintos tipos ,dependiendo del grado de la variable independiente , esta tendra una forma , un dominio y rango definido .

Funciones Lineales

Estas son las funciones donde la variable independiente es de primer grado , nos da como resultado una grafica de una recta la cual posee una caracteristica unica como la pendiente , esta tiene un dominio desde menos infinito a infinito y una recorrido que puede ir desde menos infinito a infinito.

Funciones Exponenciales

Estas son las funciones donde la variable independi
ente es de segundo grado o mayor , estas se dividen en dos tipos si la variable independiente tiene el exponente par o si el exponente es impar.

*Variable independiente con exponente Par.- Estas funciones tienen las caracteristicas de formar una parabola , la cual tiene una simetria con respecto al eje Y a ambos lados del vertice , ademas tiene la peculiaridad que su dominio va desde menos infinito a infinito y su recorrido va a partir de cero hasta infinito.


*Variable independiente con exponente Impar.- Estas funciones forman una especie de media parabola positiva a la derecha del vertice y media parabola negativa a la izquierda del vertice, esta tiene una simetria con respecto al origen y su dominio va desde menos infinito a infinito , y su recorrido va tambien desde menos infinito a infinito.








Funcion de una raiz Cuadrada

Esta funcion ocurre cuando la variable independiente se ve afectada por una raiz cuadrada , su forma empieza como una ligera curva ascendente que avanza hacia los valores positivos, esta tiene la cualidad de solo existir en los valores positvos
en X y en Y , esto nos da que esta tiene un dominio que empieza en cero y va a infinito ,al igual que su recorrido que va tambien de cero a infinito.



Funcion de un valor Absoluto

Esta funcion ocurre cuando se requiere el valor absoluto de la variable independiente . Esta tiene la forma de dos rectas con una inclinacion de 45 grados a partir del vertice a la derecha y 135 grados a partir del vertice a la izquierda, estas dos rectas tienen como valor en cero(Y) en el vertice, esta funcion tiene las caracteristicas de que es simetrica con respecto al eje Y y ademas su dominio va desde menos infinito a infinito y su recorrido va a partir de cero a infinito.


Funcion Racional


Esta funcion ocurre cuando la varible independiente se encuentra en el denominador de la ecuacion, esta tiene forma de curva que se dispara a infinito o menos infinito cuando ocurre una indeterminacion en el denominador ( cuando este tiene un valor de cero) , esta tiene un dominio que va desde menos infinito a infinito a igual que su recorrido puede ir desde menos infinito a infinito.


Funciones Trigonometricas

Estas ocurren cuando la variable independiente se ve afectada por una funcion trigonometrica como puede ser seno, coseno, tangente, etc, estas son de forma senoidal , la cual tiene una amplitud y una longitud de onda, Tambien tiene un dominio desde menos infinito a infinito y un recorrido de un mismo valor en Y y-Y






Transformaciones de las funciones

Las funciones tienen tres tipos de tranformaciones ,estas son dadas por en entorno que rodea a la variable independiente, estos pueden ser :

Desplazamiento horinzontal .- que la grafica esta desplazada a la izquierda o a la derecha del origen

Desplazamiento vertical.- que la grafica esta desplazada hacia arriba o hacia abajo del origen


Reflexion.- En la reflexion la grafica de la funcion se invierte de sentido en su recorrido , esto quiere decir que si la funcion deberia ir hacia arriba , esta ira hacia abajo.






Mi tarea de la segunda unidad funciones



















































mis videos 2da. unidad funciones

1.4 Desigualdades

Una desigualdad es una expresion que nos muestra el valor que puede llegar a tomar una variable cualquiera dentro de un intervalo determinado, respetando la condicion de la desigualdad.

Para poder resolver una desigualdad se requieren ciertos conocimientos basicos sobre los numeros y sus propiedades , como pueden ser axiomas para los numeros reales, axiomas de orden, axiomas de campo, definiciones ,intervalo y ciertas nociones de algebra como son la factorizacion, suma - resta -multiplicacion -division de fracciones, etc.

La resolucion de una desiguladad se hace de manera muy similar a la resolucion de una ecuacion, lo mas importante para esto es "hacer la expresion lo mas lineal o directa posible, y ordenar los componentes de la expresion, de forma que se resuelva de manera sencilla"
como se mostrara en los siguientes ejemplos:

-Para encontrar los intervalos que respeten la condicion dada en la desiguald , se utilizan
puntos de evalucion
. Estos sustituyen la variable ¨x¨ por cualquier valor que se encuentra dentro del intervalo que estamos comprobando, despues se resuelve la ecuacion con el valor asignado para la variable de manera directa . Esto se hace para cada intervalo presente en la desigualdad.



U1.3 Intervalos

Intervalos


Las ecuaciones ( igualdades) son donde la variable toma un solo valor unico :







Como pudimos ver en el ejemplo la variable "x" solo puede tomar el valor de "2".

En las inecuaciones (desigualdades) por otro lado pasa algo distinto, ya que la variable "x" puede tomar varios valores solo con la unica condicion de que se cumpla la desigualdad :







intervalo que satisface la desigualdad

Lo que observamos en el ejemplo es que la variable tiene un valor menor que 2, lo que significa que la variable "" puede tomar cualquier valor menor de 2 hasta menos infinito y la condicion de la inecuacion de que el resultado debe ser menor que cero ,se seguira cumpliendo.

En el ejemplo anterior vimos un ejemplo de intervalo abierto, pero que pasaria si:







inervalo que satisface la desigualdad

En este ejemplo de inervalo cerrado, vimos como la variable puede tomar cualquier valor desde menos infinito hasta 2 (y no mas despues de 2), aqui si se toma en cuenta que la variable "" si puede tomar el valor de 2 ya que el resultado puede ser menor o igual que 0, por eso el intervalo es cerrado en 2. Aunque el valor de la variable fuese 2 se seguiria cumpliendo la condicion.

A este espacio donde la variable "" puede tomar cualquier valor cumpliendo la condicion se le llama existen dos tipos de intervalos :

El intervalo abierto.- en el cual la variable puede tomar cualquier valor a partir de ese punto hasta infinito o menos infinito dependiendo de la direccion hacia donde esta se dirija en una grafica. Por lo general se utiliza en las inecuaciones donde , y o .

El intervalo Cerrado.- En el cual la variable puede tomar cualquier valor incluyendo el punto donde se ecuentra el del intervalo (no menor o mayor mas halla del intervalo.) hasta infinito o menos infinito dependiendo de la direccion hacia donde esta se dirija en una grafica. Por lo general se utiliza en las inecuaciones donde , y o .

Teniendo estos dos intervalos tenemos la siguiente tabla donde nos muestra todas las posibles combinaciones o tipos de intervalos que tenemos: